1 + 1 = 2 증명 해석

선PS. 틀린 것이 있을 수 있습니다. (점의 갯수에 따라 뜻이 미묘하게 바뀌여서 전체 뜻이 엄청 달라짐)

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a, b(α, β 대신 a, b로 적겠습니다)가 1의 원소라면, a와 b의 교집합이 공집합(서로소)이라는 것과 a와 b의 합집합은 2의 원소라는 것은 동치이다.

(여기서 '1'이라는 것은 원소의 갯수가 하나인 집합입니다. 수학적으로 하자면 ∀x∈a, {x}=a)

증명

*54.26에 따라, a={x}, b={y}라면 a와 b의 합집합은 2의 부분집합이라는 것에서 x와 y는 같지 않다와 동치라는 것을 알 수 있으며, *51.231에 따라 이것은 {x}와 {y}의 교집합이 공집합이라는 것을, *13.12에 따라 a와 b의 교집합이 공집합이라는 것을 알 수 있다.(1)

(1)과 *11.11.35에 따라, 단 하나의 x와 단 하나의 y에 대해(현대 기호로는 ∃!) a={x}, b={y}라는 것은 (a={x}에서 x에 따라 a가 결정됨. 그 반대도 (만약 a가 1의 원소라면) 성립) a와 b의 합집합이 2의 원소라는 것은 a와 b의 교집합이 공집합이라는 것을 뜻한다.

(2)와 *11.54, *52.1에 따라 QED.

이 정리에 따라, 수학적 덧셈이 정의 되었을 때, 1+1=2라는 것을 알 수 있다.

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그런데 *54.26은 {x}와 {y}의 합집합이 2의 부분집합이라면 x와 y는 같지 않다는 것을 증명함.

그런데 위의 *54.02를 보면

2≡{a|∃!x∃!y x≠y, a={x,y}}

라고 되어있네요.

참고로 0≡{Φ}(*54.01)임. 왠지 중학교 수학 시간에 봤음직한 {{}}같은거.

*54.26을 보기 전에 다른 증명들을 보면

*54.101

a∈2 ⇔ ∃!x∃!y x≠y, a={x,y} ∵*54.02

*51.22

{x}∪{y}={z}∪{w}⇔(x=z and y=w) or (x=w and y=z) ∵*51.43

다시 *54.26을 보면

증명

*54.101에 따라,

{x,y}가 2의 원소라는 것은(정확히 말해 {x}와 {y}의 합집합이 2의 원소라는 것은)

유일한 같지 않은 z와 w가 존재해서 {x,y}={z,w}라는 뜻이고,

*54.22에 따라 이것은 유일한 같지 않은 z와 w에 대해, x=z이고 y=w이거나, x=w이고 y=z인 것을 뜻한다.

이것은 *4.4와 *11.41에 따라, 유일한 같지 않은 z와 w에 대해 x=z이고 y=w이거나, 유일한 같지 않은 z와 w에 대해 x=w이고 y=z인 것을 뜻한다.

이것은 *13.22에 따라 x와 y가 같지 않거나 y와 x가 같지 않다는 뜻이며

이것은 *13.16에 따라 x와 y가 같지 않다는 뜻이다. QED.

뭐 부가적으로 흥미로운 것 몇 가지 보자면

*54.56

a가 0∪1∪2에 속하지 않는다는 것은 세 다른 원소 x, y, z가 a에 포함되어 있다는 것과 동치이다.

*54.27

{x}∪{y}는 1이나 2의 부분집합이다.

*54.3

2는 {a|a의 원소 x에 대해 a-{x}이 1의 부분집합}이다.

*54.4

b가{x}∪{y}의 부분집합이라는 것은 b가 공집합이거나 {x}이거나 {y}이거나 {x}∪{y}라는 것을 뜻한다.

참고로 50페이지대까지밖에 못봤습니다.

chap. 2는 웬 긴 말밖에 없더라고요.

chap. 1은 그래도 수식이 많아서 좋았는데...

참고로 이것덕분에 chap. 5가 증명덩어리라는 것을 확인했음.

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출처 : http://blog.naver.com/123jimin?Redirect=Log&logNo=100116809400

뭐야 이거 무서워

아니 이게 뭐여!?

그냥 편하게 사는게 좋은점도많군요

'삼춘 1더하기1이 왜 2야아?'라고 물어보는 조카에게 보여주기 좋은 자료.jpg

크! 크!

여러분 이게 무슨 상형문자인가 싶죠?

진짜 대학교 수학과에서 하는 수학이 다 저렇습니다-_-;
무슨 7대난제니 이런 것들은 저것들의 확장^확장^확장^확장입니다-_ㅠ