| 작성자 | AM-OLED | ||
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| 작성일 | 2011-03-27 00:53:25 KST | 조회 | 2,792 |
| 제목 |
찍기도 테크닉이다!
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오늘은 수능 당일 입니다.
2교시 수리영역시간.
이때까지 쳤던 그 어느 모의평가보다도 난이도가 훨씬 어렵게 느껴지고..
시간은 없고..
당신의 마음은 조마조마합니다.
하지만 평소에 열심히 수학공부를 해서 당신은 몇 문제를 제외하고 거의 다 풀었습니다.
그러나 남은 시간은 얼마 남지 않았습니다.
남은 시간 동안 당신은 남은 문제를 모두 찍거나 풀어야합니다.
XX번. sinx/sinxsin2x+sinx/sin2xsin3x+...+sinx/sin99xsin100x 를 간단히 하면?
① tanx-tanxcosx ② cotx-cot100x
③ sinx-sin100x ④ cosx(cotx-cot100x)
⑤ tanx(sinx-sin100x)
하지만 당신은 이 문제만큼은 어떻게 해봐도 풀어낼 수 없었습니다.
남은시간은 대략 2분...마킹은 미리 해놓았지만 이 문제를 풀기에는 턱없이 부족한 시간입니다.
그 순간 번뜩! 무언가가 당신의 머리를 스쳐지나갑니다.
'이걸 꼭 풀어야 답을 낼 수 있나?'
그리고 당신은 당신의 머리를 스치고 지나간 그 무언가를 놓치지 않고 문제의 답을 내어
수리영역 만점을 받습니다.
과연 당신은 이 문제를 어떻게 해결했을까요,..
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결론부터 말하자면 답은 2번이다.
사실 위 문제의 일반적인 풀이는 각 항에 공통적으로 들어가 있는 sinx를 sin{(n+1)x-nx} 꼴로 고치고 분리하여 계차급수형태로 고치고 답을 내는 문제이다.
하지만 이러한 풀이법을 생각하는 것은 약간 어려운 일이다.
그래서 시험장의 가상의 당신은 '찍기'로 한 것이다.
하지만 그냥 찍어서는 확률이 20%.
가상의 당신은 약간의 작업으로 그 확률을 90%이상으로 올렸다.
과연 어떻게 한 것일까?
간단하다.
우선 위 문제의 주어진 식에서 x를 0에 가까이 보내보자.
그러면 위 식은 무한대로 발산하게 된다.
자, 그러면 이제 보기에서 x를 0으로 보내고 무한대로 발산하는 것을 찾자.
해보면 1번, 3번, 5번은 0으로 수렴하고 2번과 4번만 무한대로 발산함을 알 수 있다.
이제 1번, 3번, 5번은 조용히 씹으면 된다.
여기까지 당신은 일단 확률을 50%까지는 만들었다.
이제 남은 2번과 4번을 어찌어찌해서 답을 끊어내야 하는데,,
곰곰히 생각해보면 위의 방법처럼 대입법으로 경우의 수를 줄여나가려 해도 더이상 그럴 건덕지가 없음을 깨닫게 될 것이다.
보통은 여기서 포기하고 둘 중에 답을 내리지만 그리기에 생각한 것이 너무 아깝다.
그래서 가상의 당신은 또 다시 생각했다.
그리고 '100'이라는 수에 주목을 한다.
'혹시 이 식이 수열의 형태라면,, 저 100에는 n이 들어가게 되고 따라서 보기에 있는 100들을 n으로 바꿔 준다음 n에 적당히 작은수를 넣은 값이 위 식의 n번째 항까지의 합과 같지 않을까?'
즉, 이러한 것이다.
위 식 sinx/sinxsin2x+sinx/sin2xsin3x+...+sinx/sin99xsin100x 을
sinx/sinxsin2x+sinx/sin2xsin3x+...+sinx/sin(n-1)xsin(n)x 으로 바꿔주고
② cotx-cot(n)x ④cotx(cotx-cot(n)x)
로 바꿔 준다음 n에 적당히 작은수, 가령 2를 넣어준다면
보기 2번이 성립됨을 확인 할 수 있는것이다.
솔직히 이러한 방법들을 100% 확신 할 수 없다.
하지만 상식적으로 생각해봐도 100이 n이 될 가능성이 높지 2n+1, n^2 와 같이 되지는 않을 것이다.
물론 이러한 방법을 생각할 정도의 실력이라면 이런 문제 2개는 더 풀었다고 생각할지도 모른다.
하지만 의외로 이렇게 해서 시간을 줄이거나 찍을 수 있는 문제들이 많다.
그것은 이쪽으로 얼마나 머리가 잘 돌아가느냐에 달렸있긴 하다.
다음으로 이러한 문제들의 몇가지 유형들을 더 소개하고 글을 마친다.
1. 제 m항이 n^2(n의 제곱)이고, 제 n항이 m^2인 등차수열이 있다. 이 수열의 제 (m+n)항은? (단, m과 n은 같지 않다.)
1) m-n 2) mn 3) -mn 4) 2m+n 5) m-2n
대입법으로 풀 수 있는 가장 전형적인 문제로 찍기스킬난이도는 '하' 초등학생 때 자주 하지 않는가?
대충 m=1, n=2 정도로 하면 답이 나올듯
2. 다음은 ∑k^2(k=1에서 n까지, 이하 ∑f(k))을 구하는 과정이다.
[가]= ∑(k+1)^3
= ∑k^3 + 3∑k^2 + 3∑k + ∑1
∴ [나] = 3∑k^2 + 3n(n+1)/2 + n
∴ ∑k^2 = [다]
위의 [가], [나], [다] 에 알맞은 것을 차례대로 나열하면?
1) ∑k^3(k=1에서 n+1까지), n^3-1, n(n+1)(2n+1)/6
2) ∑k^3(k=1에서 n+1까지), (n+1)^3, n(n+1)(2n+3)/6
3) ∑k^3(k=2에서 n+1까지), (n+1)^3, n(n+1)(2n+1)/6
4) ∑k^3(k=2에서 n+1까지), (n+1)^3-1, n(n+1)(2n+3)/6
5) ∑k^3(k=2에서 n+1까지), (n+1)^3-1, n(n+1)(2n+1)/6
수학적 귀납법을 이용한 문제는 수능에서 매년 출제되는 문제인 만큼 상당히 도움이 되리라 생각한다.(찍기스킬난이도 하)
이것도 k, n등에 적당히 1이나 2정도를 대입해서 보기를 소거하면된다. 답은 5번
3. 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원에 외접하는 정삼각형 ABC가 있따. 이 원 위의 한 점 P에서 △ABC의 두 변 AB, AC에 그은 수선의 길이가 각각 a,b라 할 때, 2a+b의 최댓값은?
1) 1+2루트3 2) 3+루트3 3) 2+2루트3 4) 3+2루트3 5) 6+루트3
(포토샵 실력이 줄어서 도형이 이상한점 양해점)
찍기실력난이도 '중상'
여기서 주목할점은 왜 a+b의 최댓값을 물어보지 않고 2a+b의 최댓값을 물어봤냐는 것이다.
문제를 좀 풀어본 사람이라면 a+b의 최대값은 a=b일 경우가 정말 많다는 사실을 알 것이다.
사실 출제자들이 그런 것들을 방지하려고 일부러 2a+b로 고친것.
잘 생각해보면 2a+b가 최대가 되려면 어쨌든 a가 클수록 좋은 건 맞다.
a가 최대가 되는 지점은 원의 지름일 때이고 그 때 b는 0.5가 된다.
그러면 적어도 2a+b가 4.5 보다는 커야한다.
대충
1) 4.4
2) 4.7
3) 5.4
4) 6.4
5) 7.7
1번은 바로 씹을 수 있다.
그런데 여기서 상식적으로 생각해보면 4번이나 5번같은 수가 나올 수 있을까?
대충 눈치로도 4번 5번은 날릴 수 있다.
그렇다면 못해도 2번 3번 중에서 찍는 것이 당연하고
눈치를 살짝만 긁어도 2번으로 찍는 것이 당연하다.
사실 예시를 들자면 정말 끝도 없이 적을 수 있다.
하지만 대부분의 방법은 저정도가 효율적이다.
그리고 이건 어디까지나 못풀었다고 가정하에 '찍는것'이므로 어떻게든 확률을 높여서 찍는 방법들이다.
적어도 수능을 준비하는 수험생들이라면 문제의 보기를 살펴보는건 필수의 일이 아닐까?
이렇게 보면 찍는 것도 아무나 하는게 아니라고 느낄 것이다
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