몬티홀 문제

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 어떤 사람이 예를 들어 1번 문을 선택했을 때, 게임쇼 진행자는 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다. 이때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까?

선택했던 번호를 바꿨을 때 자동차를 가질 확률

1. 1/3

2. 1/2

3. 2/3

http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm
시뮬레이션 ㄱㄱ

답은 3번. 포인트는 답을 알고 있는 사회자가 의도적으로 오답을 알려줬다는것

1번 2번 3번 이있는데 각각 당첨 확률이 1/3이죠
이 때 제가 1번을 선택했을 경우 제가 당첨된 확률은 1/3이고
2번과 3번일 확률은 2/3이죠
그리고 사회자가 2번을 까게되면 3번문이 2/3 확률을 가지고 가게되죠
1번은 1/3, 3번(2번을 포함한)은 2/3 이죠.
그러니 바꾸는게 좋다고 수학자들이 말을했지만
선택한 사람들의 심리상 바꾸지 않는다 하내요 ㅎㅎ

아 기억안나네 ㅋㅋ 본 문젠데 여튼 바꾸는게 더 좋음

이건 3번

일단 답은 2/3, 그리고 그 논리도 알고 있는데. 납득이 안됨.

자기가 선택한게 1/3이고 나머지 두개가 2/3인데 그중 한개가 열렸는데 비어있다는걸 확인, 나머지 두 개가 2/3인데 그중 반을 확인한 상태라 지금 선택한 1/3보다 나머지 두 문을 선택하는 2/3쪽이 1/3만큼 더 높다는 소리였는데..
아무래도 개소리같고 그냥 도박사의 오류같음

답은 3번. 포인트는 답을 알고 있는 사회자가 의도적으로 오답을 알려줬다는것

3번..이거 영화 21에서 해석하는거 나와서 봤음ㅎㅎ

이게 논리가
맨첨에 1번선택할떄 1번의 확률은 1/3이었는데, 3번을 보여줌으로써 3번ㄴ의 확률의 0%가 되고 2번이 1/3이 된다던데, 납득 안됨 도박사의 오류랑 같은것같던데

아니 2번이 2/3가 된다는거였음

슈퍼중성자// 동감.. 한번 바꾼걸 또 바꾸면 그 확률은 어찌되는가를 물어보면 어찌되는지를 생각해야함. 선택지가 두가지가 있는데 원래 이 이야기의 논리대로라면 그 중 하나를 고를 때 성공(자동차)할 확률이 항상 나머지 하나의 확률보다 높아야 함. 그리고 셋중 두개를 고른것이 된다는 논리라면 어차피 정답을 모르는 상태에서는 이걸 택하나 저걸택하나 2/3가 되어야하므로 애시당초 바꾼다는것이 의미가 없어짐.

1번 2번 3번 이있는데 각각 당첨 확률이 1/3이죠
이 때 제가 1번을 선택했을 경우 제가 당첨된 확률은 1/3이고
2번과 3번일 확률은 2/3이죠
그리고 사회자가 2번을 까게되면 3번문이 2/3 확률을 가지고 가게되죠
1번은 1/3, 3번(2번을 포함한)은 2/3 이죠.
그러니 바꾸는게 좋다고 수학자들이 말을했지만
선택한 사람들의 심리상 바꾸지 않는다 하내요 ㅎㅎ

그러니까 정답은 1/2이 되어야..

아니저게 2,3번을 포함한게 2/3인데 3번이 아님을 알게되면 둘다 1/2이 되는거죠 2/3이 그대로 유지된다는게 오류인것같은데

http://www.grand-illusions.com/simulator/montysim.htm
시뮬레이션 ㄱㄱ

가위바위보를 2판할때, 첫판을 이기던 지던 다음판에 이길 확률은 50%잖음

이런식으로 확률을 해석 해버리면 곤란함.. 난 처음 아무리 생각해도 2/3가 안나오길래 내가 바본줄 알았음.

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 시뮬레이션 재밌내요

2/3 맞습니다.
무조건 바꾼다고 했을때, 맨 처음 찍은게 맞을 확률이 1/3, 틀릴 확률이 2/3이죠.
그런데 만약 한 문의 염소를 확인하고 그 문을 버린 후 바꾼다면 처음 찍은게 맞을때 틀리게 되고, 처음 찍은게 틀리면 맞게 바뀌는 것이므로 바꿔서 맞는게 2/3.

문제의 정답은 하나
정떡도 아닌 역사도 아닌 그 무엇도 아닌 문제에서
모두들 열과 성을 다하여 답한다.

이거 어디서 보기는 했는데 수학자가 답을 바꾸기 전에는 확률이 1/3이고 바꾸고 나면 1/2이라고 하지만 납득을 못하겠어요.
남은 1/6은 도대체 어디로 증발한거죠?
아무리 생각해도 저 염소가 공개된 시점에서 확률은 변화했고 수학자는 안심시키려고 저 사람한테 말 지어내서 한 거 같음

.....하나의 문을 여는 행위가 기존의 확률에 영향을 미치지 않는다고 생각하는 거 자체가 에러이고
확률을 신경쓰는 일 자체가 더욱 에러입니다.

그런데 생각해보니까, 1번을 선택했는데 차가 아니라면 굳이 3번을 보여줄 필요가 있냐는 생각이 드는데; 일반적인 경우에는 그냥 오픈하고 님틀렸음 ㅅㄱ하고 보내지 않을까여;

ipeng//처음 찍었던 문이 답일 확률인거랑 1번 문이 답일 확률인 거랑은 완전히 별개의 문제인 거 아닌가요??

이미 염소를 골랐으면 제작자가 골라 주는 염소 문은 한가지밖에 없겠져? 이미 차를 골랐으면 제작자가 골라 줄 수 있는 염소 문이 두가지구요.

2/3가 안되는게 2번,3번을 동시에 고를수 있는것도 아닌데 어째서 2/3의 확율이 나오는 거지?
그냥 1,2,3번 각각 1/3씩이라고 봐야 하지 않음요?

AcidBlackCherry//사회자가 문을 연 이후에 선택을 바꾸면 처음 찍은게 맞았을 확률과 틀렸을 확률이 뒤집어지게 됩니다.

http://pds13.egloos.com/pds/200901/13/79/f0061579_496bd638c2e09.jpg
이미지 설명

지피에스홍어//사실 저거 프로그램에서 나머지 한개 문을 열어주는 이유가, 도전자가 그걸 생각하도록 유도하기 위함이죠.

시뮬레이션을 해 봐도 납득이 안감. 이대로라면 격리된 두사람이 이것을 각각 임의의 번호 a와 b를 선택하고 사회자가 c를 공개한다고 했을 때, 선택한 두사람이 서로 선택한 것을 교체한다면 둘다 66%의 확률이 되는건가? 이러면 평균적으로 세번의 게임을 했을때 총 2대의 차를 얻는게 되는데..? 내가 뭘 잘못 생각한건가?

바꿨을때의 확률을 생각해보면 됨
자기가 맨첨 고른게 염소면, 바꿨을 시 무조건 차
자기가 맨첨 고른게 차면, 바꿨을 시 무조건 염소
이렇게 생각하면 되지않을까여

토르놀아요 // 각각 1/3이죠
근대 제가 1번을 선택하면 1/3의 확률을 가지고
나머지 2,3번에 차가 있을 확률을 1/3+1/3 이니 2/3 이죠

ipeng//이미 선택한 상황에서 바꾸는걸 생각해야죠. 한 번에 한 줄씩만 생각해야 성립합니다.

관측왕프로토스//아 그렇군요 이해가 됩니다
ipeng//감사합니다 이제 확실히 이해가 됐어요

knightkaka/그 경우엔 제작자가 선택할 수 있는 염소 문이 하나밖에 없잖아요 게다가 둘 다 염소 골랐으면?

1번과 2,3번 합친걸 고르는게 아니라, 1/2/3중 하나를 고르는 상황에서

3번을 알려줬는데 1번과 2번 남은 상황에서 2/3이라는 확률은 어거지같은데..
2,3번을 같이 묶는다는게 오류아닌가요? 둘은 상관없고 1,2중 하나를 골라야 하는상황인데.

ipeng님의 이미지대로 생각해봅시다.
A에 있고, B, C는 비었어요.
1) A를 선택했습니다. B나 C를 열어주겠죠. 어느걸 열든 확률엔 영향을 미치지 않습니다.
A가 아닌 나머지를 선택하거나 A를 선택하죠. 1/2입니다.
2) B를 선택했습니다. C를 열어주겠죠. A를 선택하거나 B를 선택합니다. 1/2
3) C를 선택했습니다. B를 열어주겠죠. A를 선택하거나 C를 선택합니다. 1/2

ㄴㄴ 애초에 처음 1/3 확률이 뒤에 하나 공개되고 나서도 유지된다는것 자체가 오류임

관측왕프로토스// 아 그렇군요.. 감사합니다.

A B* C (*이 진짜)
A 고름 - C 공개 - 바꿈 (정답)
-안바꿈(오답)
B고름 - A 공개 - 바꿈 (오답)
- 안바꿈(정답)
- C 공개 - 바꿈 (오답)
- 안바꿈(정답)
C 고름 - A공개 - 바꿈 (정답)
-안바꿈 (오답)

골랐을때 B 고름일 확률 1/3 - 후에 안바꿈 1/3
골랐을때 B 고름이 아닐 확률 2/3 - 후에 바꿈 2/3

즉 B고르지 않고 바꾸면 무조건 정답
B안고를 확률이 2/3

지금 알고 나서 말씀드리는 건데 이해가 안 가신다면 직접 수형도를 그려보시는 것도 나쁘지 않습니다.
답이 A인데 내가 A를 골랐을 때 사회자가 골라주는 문이 B일때 내가 선택을 유지하는 것과 C로 바꾸는 것
답이 A이고 내가 A를 골랐을 때 사회자가 골라주는 문이 C이고 내가 선택을 유지하는 것과 B로 바꾸는 것
답이 A이고 내가 B를 골랐을 때 사회자가 골라주는 문이 C이고 내가 선택을 유지하는 것과 A로 바꾸는 것
(A,B,C)=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

음 작성중에 마늘맛님이 똑같은 내용을 올려주셨네요...ㅠㅜ

골랐을 때, 는 상관없습니다.
우리가 생각할 확률은 게임쇼 진행자가 문을 열었을 때부터 신경써야하는거죠.

이미 자기가 염소를 골랐을때 진행자가 열어준 염소문하고 자기가 차를 골랐을때 진행자가 열어준 염소문의 의미가 다릅니다

어쨌든 염소를 골라주기떄문에 그걸 제외하고 확률을 계산해야하는 거 아닙니까. 남은 것은 자동차와 염소. 1개씩이에요. 그 둘 중 하나를 선택해서 자동차를 얻을 확률은?

문이 4개라고 가정하고
진행자가 2개를 열어준다고 하죠
A B C D
중에 A 를 골라요
BC를 열어요
그럼 A D 있으니 1/2 이니까 고민할껀가요?

그럼 1000개 있다고 생각하죠
A1~A1000 중에
A1을 골라요
그리고 사회자가
A7을 뺀 나머지 문을 열어요
그럼 A1과 A7중 뭘 고르시겠습니까?

위에 마늘맛님이 이해하기 좋게 예를 들어 주셨음

슈퍼중성자 //제가 틀리고 ipeng 님이 옳은 것 같습니다. 여전히 직관적으로 잘 안와닿긴 하는데.. 2/3가 맞네요.. ipeng님이 설명하신 이상으로는 설명을 못하겠습니다..

제 답은 항상 같은데요.... 진행자가 나머지를 없애준거지 내가 고름으로써 나머지 변수를 없앤 게 아닙니다

저거 나도 1/2인줄 알았는데 2/3이 맞더라고요

이렇게 보면 이해가 잘됨

문이 100만개 있고 하나를 골랐어요

나머지 중에 사회자가 999998개를 열어줍니다

그리고 2개가 남았을때 바꾸실건가요 안 바꾸실건가요

이런 극단적인 상황을 가정하면 이해가 빠름

이 문제가 직관적으로 이해하기는 상당히 어려운듯 합니다.
일단 확률이 뒤바뀐다는 식으로 설명을 하긴 했는데 이해를 하셨다니 다행이네요. 설명이 꽤나 부족한 편이였는데..

시뮬레이션 돌리니까 진짜 2/3에 수렴하네요;

슈퍼중성자//진행자가 나머지를 없앴다는 부분이 중요한겁니다. 나머지를 없앰으로써 처음의 선택이 틀렸을 경우에 선택을 바꾸면 맞는 선택이 되고, 처음에 틀린것을 고를 확률이 2/3입니다.

좀 더 자세히 설명하자면,

A를 처음에 고른 문이 차가 있는 문인 사건이라고 할게요.
B를 문을 바꿨을 때 차가 있는 문인 사건이라고 하구요.

p(A)=1/3입니다.
p(Ac)=2/3이구요(윗첨자 c예요 여사건)

p(B│A)=0, p(B│Ac)=1입니다.

그럼 전확률 공식에 의해 p(B)=p(B│A)+p(B│Ac)=2/3이죠.

프레리닭// 그건 이해가 아닌것 같은....;;

바꾸지 않았을때 맞을 확률 =내가 1000개중 하나를 맞출확률 = 1/1000
바꿨을때 맞을 확률 = 내가 1000개중 하나를 맞추지 못할확률 = 999/1000

바꾸지 않았을때 맞을 확률 = 내가 3개중 하나를 맞출확률 = 1/3
바꿨을때 맞을 확률 = 내가 3개중 하나를 맞추지 못할확률 = 2/3

2/3 임ㅋㅋ

왜냐면 처음 선택이 틀렸을 경우 바꾸면 무조건 자동차가 나오고
자동차를 처음부터 선택했을 때에만 염소가 나오니까
확률이 위에꺼랑 바뀜

즉 내가 고른 답 한 개와 사회자가 엄선해준 답 사이에서 고민을 한다면 당연히 사회자가 엄선해준 답 쪽으로 가는게 맞는 거겠죠

넵 그런듯요. 포풍이네 =_=;;

아니 그보다 님들 밑에 제 글에 제가 댓글 좋은거 올려놨는데 가져다 쓰세요

시뮬레이터에 추천똷 누르고 갑니다. 쪽팔려서 빨리 군대나 가야지

맨날 뒷북타령하는 XP도 문제떡밥에는 관대하군

이거 영화 21에나온거아님?

확률은 2/3 이유는 책에서 본거같음..

알려진 이유는 틀린것이 맞죠.
뭐 처음 확률이 1/3인데 하나를 열면 나머지는 2/3이 된다는건 개소리고

처음에 상품이 있는 문을 고른 경우면 바꾸는게 Fail
처음에 상품이 없는 문을 고른 경우면 바꾸는게 성공

하지만 처음에 상품이 없는 문을 고를 확률이 2/3 이니까 바꿨을때 받을 확률이 더 높은거죠.

먼저 셋중에 하나를 고릅니다.
처음 골랐을 때 참(차)을 고를 확률은 1/3입니다.
그러면 사회자가 거짓(염소)인 방 둘 중 하나를 엽니다.
이때 사회자는 내가 선택한 방과 정답인 방을 택할 수 없습니다.

여기서, 내가 처음 '참'인 방을 고를 경우는 앞서 말한대로 1/3입니다.
이 경우 선택을 바꿀 때 '거짓'이 됩니다.
따라서 나머지 경우는 자연히 2/3이 됩니다.

아까 문제도 그렇지만 이 문제도 선택의 순간이 중요한 것임. 이 문제는 선택의 순간은 사회자에 의해서 꽝 하나가 제거된 상태. 따라서 1/2

존슨바//;

추가로..
case2. '거짓1'을 골랐을 때, 사회자는 반드시 '거짓2'를 고를 수 밖에 없습니다.
이 경우 바꾸게 될 때, '참'이 나오게 됩니다. -확률 1/3

case3. '거짓2'를 골랐을 때, 사회자는 반드시 '거짓1'을 고를 수 밖에 없습니다.
이 경우 바꾸게 될 때, '참'이 나오게 됩니다. -확률 1/3

case1과 case2는 구분할 수 없습니다. 어느것을 고르든 같은 결과를 초래합니다. 따라서 확률을 '합칠' 수 있습니다. 따라서 1/3+1/3=2/3 이 됩니다.

그러고보니 파인만 책 양자역학파트 볼 때 비슷한 문제로 고민 한 적이 있었던것이 생각나네요.

설명듣고 나니 2/3이 맞다는 건 알겠는데 1/2가 왜 아닌지는 여전히 말을 못하겠다ㅠ

존슨바//여기서 문제는 '바꾸느냐, 안바꾸느냐' 입니다.

처음부터 자동차가 있는 문을 고를 확률 = 1/3
처음부터 염소가 있는 문을 고를 확률 = 2/3

그러니 처음부터 염소를 고를 확률이 더 높습니다.

이때, 사회자는 무조건 염소를 하나 없애주기 때문에 처음부터 자동차를 고르지 않은 이상 선택을 바꾸면 무조건 자동차를 고릅니다.

정리하자면 처음부터 자동차를 고를 확률보다 염소를 고를 확률이 더 높기때문에 선택을 바꾸는게 당연히 확률이 더 높습니다.

정리 끝.

첫리플에 뻘소리한것 죄송합니다.

A , B, C 세개의 문이 있다고 합시다.
A에는 차가,
B, C에는 염소가 들어갑니다.

만약 A를 골랐다 칩시다.
A를 바꾸면 염소를
A를 유지하면 차를 얻습니다.

그럼 B를 골랐다고 합시다.
B를 바꾸면 차를
B를 유지하면 염소를 얻습니다.

C를 골랐다고 치면
C를 바꾸면 차를
C를 유지하면 염소를 얻습니다.

전체적으로 봤을대 유지했을때 차를 얻을수있는 확률을 1/3
바꿨을때 차를 얻을수 있는 확률은 2/3이 됩니다.

ㄴ 아 이거 닷.... 마지막리플에서 이해했네요..ㅎ

하지만 이것도 말장난인게, 사실 바꾼다고한뒤 똑같은거 선택해도 2/3....

결국 3번까지 확률로 포함하면 2/3, 3번을 배제하게되면 1/2인 말장난 문제죠.

말장난..이 아니라 수학인데요 ㅋㅋ 바꾼다고 한뒤 똑같은거하면 1/3이죠

고2때 이거 문 4개 짜리로 교과서에 있던 문제가 기억 나는데요 경우의 수 다해봤을때 바꿨을 때 확률 올라가는게 맞죠 ㅋㅋ

구루루릐님 / 왜 1/3이죠? 이미 배제된 3번답을 선택하는게 아니기때문에 새로 선택한다 선택후 나머지 하나를 선택하게되면, 배제확률 1/3을 추가로 얻어 기존답도 2/3이 됩니다.

말장난이라고 봐야 옳죠.

이런것까지 감안하고 아닌답을 배제하는 확률로 잡게될경우, 1/2이 되는거고요.

수학에서도 말장난하는경우야 여태 수학시험많이보셨을테니 더 말할필욘없겠죠.

여기저기서 어그로 끌지 마세요..

ㄴ 너님도요

이쪽은 아예 시뮬레이션이 존재하는데 이러시면..

기존답이 왜 2/3가 되요 그건 그대로 1/3 인뎅

생각이 조금이라도 돌아간다면 위에 프레리닭님이 쓴것처럼 극단적으로 문이 100개 있다고 가정하면 이해 갈거고

좀 더 심화적인거 알려주자면 사회자가 정답을 '알고' 염소문을 열어줬다면 바꾸는게 2/3
사회자가 정답을 '모르고' 우연히 열었는데 그게 염소문이었다면 바꾸나 마나 1/2

몬티홀문제 ;;ㅎ 확률론이나정수론을 약간만배우면 아주쉽다능 그냥 고등학교확률배워도 알려나 ;;

헐 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
두번째 선택때 처음선택과 다른 선택을 하는
시뮬레이션 20판 해봤는데
win 8 (40%)
lose 12 (60%)
운이 없네 ㅋㅋㅋ

1/2 이라고 생각하시는건 일단 처음에 고를 때 차를 선택할 확률이나 양을 선택할 확률이 같을 때나 1/2 이 되는거고

일단 처음에 양을 선택할 확률과 차를 선택할 확률이 다르기 때문에
즉 양을 선택할 확률이 2/3 차를 선택할 확률이 1/3이기 때문에 바꿀때 승리 확률이 2/3
안바꿀때 승리 확률이 1/3 되는거.

쥐로군/ 자기가 이해못하는걸 말장난이라고 합리화 하지마시고 더 생각해보세요

이건 50%임
그리고 사회자가 남의말을 잘듣고 별로 의심하지 않는 성향과 남의말을 잘 듣지않고 의심이 많은 참가자들을 가지고 노는거임
사회자가 바꾸라고했을때 아 왠지 바꾸는게 좋을것같아
처음 선택한게 맞았는데 사회자가 오답으로 유도
또는 아니야 난 내가 선택한 것을 바꾸지 않을거야
바꾸면 성공인데 의도적으로 번호교체를 제안해서 굳히기
결국 보는 사람의 흥미를 돋구기위한 말장난

흥츳흥님 / 말장난임을 이해 못하면서 남한테 합리화라고 할 필요없어요.

이거 말장난 맞아요.

쥐로군//...아니라니깐요
왜 2/3인지 이유에 대해서 이해를 못하시네요
1번문 1/3 2번문 1/3 3번문 1/3 이렇게 해서 하나 열면 나머지 하나가 2/3이 되는 게 아니고 다른 이유에서 2/3이 되는 거에요

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ멍청한건 부끄러운게 아니에요 인정하고 이해하려고 노력을 하셔야지 답답한 인간일세