답이 10/49인 이유

루리웹에서 힛갤와가지고 한창 시끄러운 떡밥의 귀환이었는데

결국 떡밥이 다시 돌았나 보네요;;

루리웹댓글로 썻던 글들 몇개 퍼와서 그대로 붙여넣기 할테니 찬찬히 읽어보시면 이해가가실겁니다.

[쉬운해석]

1.중요한건 카드를 언제확인햇냐는 거지 언제 뽑앗다는게 아닙니다.

처음에 뽑앗어도 4번쨰로 확인햇으면 4번째로 뽑아서 확인한거랑 확률이 같습니다.

이해하기 쉽게 설명해드릴게요
카드를 빼거나하지말고 그냥 펜으로 표시를 해놧다고 합시다(안보이게)
그상태에서 3장의 카드를 뽑앗는데
만약 펜으로 표시한 카드가 아닌 다이아3장이 나왔다고 합시다
그뒤에 펜으로 표시한 카드를 뒤집은거랑 같은 이야기인겁니다.

물론 다이아3장을 뽑을때 펜으로 표시한 카드가 나와버릴수도 있죠
이때는 마지막에 펜으로 표시한 카드가아닌 다른카드를 상자속의 카드라고 하면되는겁니다.

즉, 어떻게하던간에 위에 사건이나 아래사건이나 확률은 같을수밖에없고
상자에 넣어놓는다는건 그저 훼이크일 뿐이죠. 

2. 조건부확률

뒤의 3장의 카드가 모두 다이아인 경우는

첫 번째가 다이아고 세 장이 연달아 다이아거나 첫 번째는 다이아가 아니고 세 장이 연달아 다이아인 경우

(13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49) + (39/52 * 13/51 * 12/50 *11/49)

이 중 (13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49)의 확률을 구하므로 구하는 확률은

(13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49)/{(13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49) + (39/52 * 13/51 * 12/50 *11/49)}

= 10/49

3. 극단적인 경우

만약 다이아 3장이아니라

13장을 뽑앗는데 다 다이아예요

그럼 다이아일확률은 0이죠

50장을 뽑앗는데 하트랑 다이아 1개빼고 다 나왓어요

그럼 다이아일 확률은 1/2이죠

49장을 뽑앗는데 하트랑 다이아랑 클로버 1개씩 빼고 다나왓어요

그럼 다이아일 확률은 1/3이죠

이외에도 수없이 많은 조합을 만들수있으며 어떤 조합이냐에 따라 확률은 매번바뀝니다.

3장일때도 똑같이 확률이 바뀝니다.

4. 구조적으로 동일한 다른 문제로 변형

(1)

Q.제 리볼버에 3발의 총알이 있어요. 1발은 실탄 2발은 공포탄.
제가 어느 방에 들어가서 어떤사람을 쏘고 나옵니다.(생사는 확인안함)
이제 허공에다가 2번째 총알을 발사했는데 공포탄입니다.
이때 위 방에 있던사람이 죽었을 확률은?(물론 실탄에 스치기만해도 죽는다고 가정^^)

제가 보이기엔 이문제가 카드문제랑 경우의 수만 3으로 줄었지 같은것 같은데.
혹시다르다면 어느부분이 다른지좀 ..
어떻게 생각하시는지요.

A.1/4이라 주장하는사람들은 이 확률이 1/3이라 할거고
10/49라 주장하는분들은 1/2라고할겁니다.
왜 1/2인지 설명드리죠

첫발로 사람이 죽엇을확률 = 1/3
첫발로 사람이 안 죽엇을 확률 = 2/3
첫발이 실탄일때 두번째 발이 공포탄일 확률 = 1
첫발이 공포탄일때 두번째 발이 공포탄일 확률 = 1/2

두번쨰발이 공포탄이 아닌 확률은 계산하지않으므로

분모 = ( 1/3 x 1 ) + ( 2/3 x 1/2) = 2/3
분자 = ( 1/3 x 1 ) = 1/3

따라서 답은 1/2

(2)

Q.주머니속에 빨간공 3개 파란공 2개가 있다. 먼저 하나의 공을 확인하지 않고 꺼내고 이걸 상자에 넣었다. 그리고 다시 주머니속에서 공두개를 꺼냈는데 빨간공 1개 파란공 1개이었다. 이때 처음 뽑은 공이 빨간공일 확률은?

A.수1기본문제인데 조건부확률의 기초적인 개념을 묻고있는겁니다.

계산과정은 (1)과 같은방법으로 풀면되고 정답은 2/3입니다. 

(3)

1박2일 제작진이 이승기, 이수근, 엄태웅을 불러서 까나리가 든 식혜와 일반 식혜를 각각 2잔씩 총 4잔을 앞에두고 까나리가 든 식혜를 마시는 사람이 입수하기로 제안했다고 해보자

이승기가 한잔 선택했는데 가슴이 떨린다는 것을 이유로 마시지 않고 다음 순서로 넘겼어

근데 이수근 엄태웅이 차례대로 선택해서 마셔보니 일반 식혜인거야

그럼 이승기가 뽑은 음료수는 까나리가 든 식혜일 확률은 100% 인거잖아

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[어려운 해석]

몬티홀이랑 러시안룰렛이랑 이 문제의 공통점과 차이점을 파악하면 간단해집니다.

이문제는 굳이 비교하자면 러시안룰렛과 비슷한속성을 지니고잇고

몬티홀과는 완전히 다른문제입니다.

그이유는 이문제는 3장의 카드를 뽑을때 "랜덤으로"뽑지만

몬티홀의 문제는 사회자가 답을아는 상태에서, 일부러 오답의 문을 엽니다.

물론 러시안룰렛도 랜덤으로 하는거죠.

랜덤으로 하는게 왜 다르냐? 그이유는 랜덤으로 뽑을경우에는 조건에 맞지않는 사건이 발생햇을때, 조건에 맞지않기때문에 그 사건은 경우의 수에서 빼기때문에 분모에 들어가는 수가 바뀝니다.

Monty Fall이라는 몬티홀의 변형문제가잇는데 이는 사회자가 답을 모른상태로, 랜덤으로 문을열엇을때 염소가나왔고. 그때 자기가 처음선택한 문이 정답일 확률을 묻죠. 이걸 풀이하면 다음과같습니다.

1번문에는 항상 차가잇고

2번문,3번문에는 항상 염소가있다고할때

참가자가 1번문을 고른다 -> 우연히 염소를 열확률 1

참가자가 2번문을 고른다 -> 우연히 염소를 열확률 1/2

참가자가 3번문을 고른다 -> 우연히 염소를 열확률 1/2

분모 = 1/3 + 1/6 + 1/6

분자 = 1/3

답 = 1/2

물론 선택하지 않은 다른문이 정답일 확률도 1/2입니다.

이문제에서는 참가자가 2,3번문을 골랏을때 사회자가 염소를 열 확률은 1/2지만

몬티홀문제에서는 사회자가 답을알고잇기때문에 그 확률이 1이됩니다.

따라서 분모가 1이되고 분자가 1/3이 되서 답이 1/3이되고, 다른문은 확률이 2/3가 되죠.

러시안 룰렛도 Monty Fall과 마찬가지입니다.

러시안 룰렛이 확률이 1/6 -> 1/5 -> ... -> 1/2 -> 1/1 이렇게 변하는건 다들 아실겁니다. (다른문제와동일한 조건을 위해 실린더를 한개선택하고 번호를 붙이더라도 확률은 동일합니다.)

이게무엇을 의미하느냐? 랜덤으로 뽑앗을때는 확률이 균등하게 나눠지고, 처음에 고른 것의 확률도 바뀐다는거죠.

몬티홀은 처음고른게 정답일확률은 1/3이지만

러시안룰렛은 탄창이 하나씩 공개될때마다 확률이 증가하고

Monty Fall은 1/3에서 1/2로 바뀝니다.

그렇다면 이 문제도 Monty Fall의 문제와 정확히 대응시키기만 하면 확률이 변한다는걸 증명할수있습니다.

[여기서부터 1:1 대응]

52장중 한장의 카드를 골라서 상자속에넣엇습니다.

3개의 문중 하나의 문을 골랐습니다.

남은 51개의 카드중에서 랜덤으로 3장의 카드를 뽑앗는데 3장모두 다이아였습니다.

남은 2개의 문중에서 랜덤으로 1개의 문을 열엇는데 염소였습니다.

처음에 고른 카드(상자에넣은카드)가 다이아일 확률은?

처음에 고른 문이 답일 확률은?

Monty Fall의 문제가 확률이 1/3에서 1/2로 변하듯,

카드의 경우에도 처음에 뽑을때는 확률이 1/4지만 마지막에는 10/49로 변합니다.

그 카드의 확률이 변하는거지 그 카드 자체가 변하는건 아니라는겁니다.

핵심은 카드를 랜덤으로 뽑앗는데 우연히 다이아가 3장나왓다는거죠.

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나머지 3장이 아무거나 나왔으면 상관이없습니다.

하지만 다이아3장이 나왓다는 전제조건이깔려있습니다.

이 문제에서는 분명 "이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?"

라고 물었습니다.

처음에 다이아를 상자에 넣을 확률이아닌거죠

다이아가 3장나오고나서의 확률을 묻는거니까요

1.처음 빼놓은 카드가 스페이드 -> 다이아3장을 공개한다

2.처음 빼놓은 카드가 하트 -> 다이아3장을 공개한다

3.처음 빼놓은 카드가 다이아 -> 다이아3장을 공개한다

4.처음 빼놓은 카드가 클로버 -> 다이아3장을 공개한다

계산해보시거나 직접해보시면 아시겠지만 124번과 3번의 확률이 다릅니다

124번의 경우에는 덱에 다이아13장잇을때 다이아3장을 뽑는거고

3번은 다이아12장일때 다이아3장을 뽑는거니 확률이 더 낮습니다.

우리가 구하는건 이 모든 경우의 수중 3번의 경우의 수이기때문에

1/4보다 작은 값이 나오는게 당연합니다. 

52장중 하나 뽑아서 상자에넣은다음에

남은 51장 중 50장을 까봣더니 다이아1개와 하트1개를 빼고 모두나왓다면

다이아일 확률은? 

여기서 중요한건 이시행을 할때

앞의 조건이 성립되지않는 것들은 전체의 경우의수에서 뺸다는겁니다

즉 저 상황이 된상태에서 시행을 반복하면 다이아가 나올확률은 1/2일수 밖에없다는겁니다 

처음고를때의 확률은 1/4이지만

후에 그 카드에대한 정보가 나옴으로써 확률이 변한다는겁니다.

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다른방법으로 설명을 드리죠.

다이아 3장을 뽑는것이 상관없다는 분들을 위해서 모든경우의 수와 확률을 계산해 드리겠습니다.

우선 임의의 3장을 뽑아서 나올수있는 경우의수는 (다이아갯수, 다이아이외의문양의갯수)라고할때  (우리의 입장에서 다이아이냐 아니냐 가 중요한것이니 나머지3문양은 그냥 묶어서 표현하겠음)

(3,0) (2,1) (1,2) (0,3)

이렇게 4종류입니다.

다이아 3장이 나왔다면 확률계산은 다음과 같습니다

------------------------------------------------

뒤의 3장의 카드가 모두 다이아인 경우는

첫 번째가 다이아고 세 장이 연달아 다이아거나 첫 번째는 다이아가 아니고 세 장이 연달아 다이아인 경우

(13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49) + (39/52 * 13/51 * 12/50 *11/49)

이 중 (13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49)의 확률을 구하므로 구하는 확률은

(13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49)/{(13/52 * 12/51 * 11/50 *10/49) + (39/52 * 13/51 * 12/50 *11/49)}

= 10/49

------------------------------------------------

이와 같은방법으로 다이아 2장, 다이아 1장의 경우의 수를 계산하면

각각 11/49,  12/49 의 확률이나옵니다

다이아가 0장이라면 13/49의 확률이 나오구요. 

(만약 이 가정이 틀렷다면 아래의 최종 계산결과에 오류가발생할겁니다.

일단 끝까지 읽어보세요)

하지만 이건 각각 '다이아가 x장 나왔을떄, 상자속의 카드가 다이아일 확률'이므로

실제로는 다이아 x장이 나올 확률들을 구해서 곱해줘야합니다.

상자속에 넣은 카드가 다이아라는 가정하에

다이아 3장이 나올확률은 12/51 * 11/50 * 10/49 = 1320/194950       

다이아 2장이 나올확률은 12/51 * 11/50 * 39/49 * 3 = 15444/194950   

다이아 1장이 나올확률은 12/51 * 39/50 * 38/49 * 3 = 53352/194950   

다이아 0장이 나올확률은 39/51 * 38/50 * 37/49 = 54834/194950   

모두 합하면 1나옵니다.

상자속에 넣은 카드가 다이아가 아니라는 가정하에 (귀찮아서 식 간략화)

13 12 11 / 51 50 49 = 1716/194950   

13 12 38 / 51 50 49 = 17784/194950   

13 38 37 / 51 50 49 = 54834/194950   

38 37 36 / 51 50 49 = 50616/194950   

처음에 상자속에 다이아를 넣을 확률은 1/4이고 다른문양을 넣을확률은 3/4이므로

이를 곱해서 계산해주면

다이아 3장을 뽑을 확률 = 6468 / 499800

2장 = 68796 / 499800

1장 = 217854 / 499800

0장 = 206682 / 499800

자 이제 이 확률을 처음에 계산한 10/49, 11/49, 12/49, 13/49 에 곱해줍시다

6122550 / 24490200 = 1/4

자.

지금 제가 계산한 1/4은 

3장의 카드를 임의로 뽑앗을때

다이아가 3장, 2장, 1장, 0장일 확률과 그때 상자속의 카드가 다이아일확률을 곱한것을 합한 값으로

모든 경우의 수를 다 따졋을때 최종적으로 상자속에 넣은 카드가 다이아일 확률입니다.

하지만 이 문제에서 묻는것은 그게아닙니다.

이문제에서 묻는것은 '다이아 3장이 나왔을때 상자속의 카드가 다이아일확률'이죠.

1/4을 주장하는 분들에겐 저 10/49, 11/49, 12/49, 13/49가 모두 1/4로 보일테죠.

하지만 저자리에 1/4을 넣고 계산하면

최종확률이 1/4이 안나옵니다.

그게무슨뜻이냐구요? 모순이라는거죠.

증명 실패라는 소리입니다.

하지만 제가 10/49의 확률을 넣어서 계산한결과 정확히 맞는 답이나왔고

이걸로 증명이 끝난거나 다름이없습니다.

정의심스러우면 직접계산해보세요

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그대로 퍼와서 말투가 좀 그럴수도있는데 그냥 넘어가주세요.

http://www.illinoisksa.org/bbs/view.php?id=break&page=1&sn1=&divpage=1&sn=off&ss=on&sc=on&select_arrange=headnum&desc=asc&no=96

링크는 보너스

덧글 2페이지 넘어온건 이게 처음임?

KNIGHTKAKA씨는 자꾸 카드는 안변한다하는데 카드안변하는건 안변하는거고 확률은 확률이죠
내가 남은카드중에 뽑아봤는데 다이아가 3장이면 확률은 바뀌게 되는거죠. 왜냐하면 내가 카드뽑을때 다이아인걸 알고 골라뽑은게 아니라 그것도 일정한 확률에 의해 나타난건데 그게 이루워졌으니 상황은 달라지게되는거죠. 그냥 다이아를 골라뽑은게 아니라 그 상자속카드가 빠진 나머지 카드중에서 어떠한 확률로 뽑아진거니깐요.

덧글 2페이지 넘어온건 이게 처음임?

200개마다 덧글 한페이지구나 몰랐네

베플대나 해바야지 2페

오 2페 베플댄다.

새벽에 귀찮아서 잤지만 대충 내용 훑어보고 나서

나이트카카님께 말씀드립니다.

님은 처음 뽑은 시점에서의 확률을 이용하여 사건이 확률내에 있다하시는것이고

문제는 님이 다른사람에게 준 그 카드를 다이아라고 외쳐서 맞출확률임

핫스윙트 // 아쉽게도 처음이 아닙니다 .. 많이 봤음 ..

3페 4페도 갑니다 물론 ..

이거 일부러 놀려먹을려고 이러는건지 아니면 진짜 몰라서 이러는건지

당연한건데 왜이라지

KNIGHTKAKA //

계속 1/4이다가 13번째 카드가 다이아가 되는순간 확률 0으로 수렴?ㅋㅋㅋ

그럼 문제 하나 내드릴게요 풀어보세요.

45만원이 적힌 카드가 1,000장, 55만원이 적힌 카드가 1,000,000장 이렇게 있는 1,001,000장으로 이루어진 덱이 있습니다. 이 중에서 한장을 뽑아 상자에 넣어두었습니다.

만약 상자 속의 카드에 적힌 금액을 맞추신다면 맞추신 금액을 드리죠.

그러면 KNIGHTKAKA님은 얼마를 선택하실건가요? 당연히 55만원이겠죠?

그런데 남아있는 카드 중에서 999,999장을 확인해봤더니 모두 55만원이였습니다.

그렇다면 이제 KNIGHTKAKA님은 얼마를 선택하실건가요?

님의 논리대로라면 아직 55만짜리 카드가 모두 나오지 않은 상태이니 55만원이 나올 확률은 1000/1001이니 55만원을 선택하실건가요?

누가봐도 지금 상황에 55만원이 나올 확률은 1/1001임이 분명한데도?

오랜만에 크게 웃고 가네요 ㅋㅋㅋㅋ