오늘의 상식

조화급수 (Harmonic Series)

대부분 우리는 고등학교 수1 과정에서 수열을 배우는데

수열에 관한 명제중 대표적인 예가 하나 있습니다.

왠만한 문제집에서 거의 모두 찾아볼수 있는 아주 유명한 사례죠.

다들 알다시피 이 명제의 답은 거짓입니다. 일반항이 0으로 수렴해도 합은 발산하는 경우가 존재하는데

여기서 첫번째로 꼽는 예가 바로 위에 나온 수열, 조화수열입니다. 

그리고 이 수열의 무한합을 조화급수라고 하죠.

조화급수가 발산하는 것을 보이는 방법은 다음과 같습니다.

이러한 관계에서 우리는 다음 식을 도출할 수 있습니다.

여기서우리가 증명할 문제는 조화급수, 즉 모든 항을 더했을 때의 이야기입니다. 

결국 다 더하면 발산하는지의 여부가 중요하죠. 

2^n 개의 항을 더한 것도 n이 무한대로 가면 결국은 모든 항을 더하는 것이므로 조화급수가 됩니다.

그런데 이보다 작은 오른쪽 항이 발산하므로, 왼쪽항인 조화급수도 당연히 발산하게 됩니다. 

이런 식으로 조화급수는 일반항이 0으로 수렴한다 해서 항들의 합을 수렴한다 단정지을 수 없게 하는 

대표적인 사례로써 잘 알려져 있고, 이러한 성질로 인해 연구에 자주 이용되는 소재중 하나이며,

나중에 자연로그를 발견토록 하는 근간이 됩니다.