수학 잘하는분 계십니까 갈로아필드 질문

GF(6)은 갈로아 필드일까요..?

 

GF(q)의 뜻을 생각해보면, 갈루아 필드가 갈루아 필드입니까? 라는, 동어반복이라 무의미한 질문이 되므로
질문하신분의 의도가 '원소의 갯수가 6개인 Field가 존재합니까?'라고 생각할게요.

i) field가 되기위해선 우선 덧셈구조가 abelian 이어야 합니다, 따라서 원소 6개인 fiield가 있다면
덧셈구조는 Z_6가 됩니다. (by fundamental theorem of finitely generated abelian group)
ii) 덧셈구조가 Z_6이므로 이 안의 원소를 0,1,2,3,4,5..로 생각하겠습니다. 여기서 2*3을 해볼게요
그러면 분배법칙에 의해 (1+1)*(1+1+1) = 1*1+1*1..+1*1 (총6개) 가 됩니다.
저희가 곱셈구조를 정의하지 않았으므로, 1*1을 일반적인 'Ring' Z_6를 생각해서 1로 단정지어서는 안됩니다.
하지만 1*1이 무엇이건지에 관계없이, 'Group' Z_6는 어떤 원소를 가져와서 6번 더하더라도 0이됩니다.
즉, 2*3 은 곱셈구조에 상관없이 항상 0이 됩니다.
iii) 2*3 = 0 을 얻었습니다. 만일 저희가 찾는 원소 6개짜리 field가 있다면 정의에 의해 2의 곱에대한 inverse가 존재해야합니다. 2*3 = 0의 양변에 2의 inverse를 곱하면 3 = 0을 얻고 이는 모순이 됩니다.

따라서 원소 6개인 field는 존재하지 않습니다.
보통 field 단원 초반부에 배우는 사실로서, 유한체의 원소의 갯수는 항상 소수의 power 꼴입니다.
(https://math.stackexchange.com/questions/285278/quick-way-to-show-a-finite-field-always-has-prime-power-order/285287) 참고

감사합니다

나 이과가 아니라 문과가 맞는거 같다

국방문과학연구소

문...과학..?