갈로아필드 추가질문

GF(q)의 뜻을 생각해보면, 갈루아 필드가 갈루아 필드입니까? 라는, 동어반복이라 무의미한 질문이 되므로 질문하신분의 의도가 '원소의 갯수가 6개인 Field가 존재합니까?'라고 생각할게요. i) field가 되기위해선 우선 덧셈구조가 abelian 이어야 합니다, 따라서 원소 6개인 fiield가 있다면 덧셈구조는 Z_6가 됩니다. (by fundamental theorem of finitely generated abelian group) ii) 덧셈구조가 Z_6이므로 이 안의 원소를 0,1,2,3,4,5..로 생각하겠습니다. 여기서 2*3을 해볼게요 그러면 분배법칙에 의해 (1+1)*(1+1+1) = 1*1+1*1..+1*1 (총6개) 가 됩니다. 저희가 곱셈구조를 정의하지 않았으므로, 1*1을 일반적인 'Ring' Z_6를 생각해서 1로 단정지어서는 안됩니다. 하지만 1*1이 무엇이건지에 관계없이, 'Group' Z_6는 어떤 원소를 가져와서 6번 더하더라도 0이됩니다. 즉, 2*3 은 곱셈구조에 상관없이 항상 0이 됩니다. iii) 2*3 = 0 을 얻었습니다. 만일 저희가 찾는 원소 6개짜리 field가 있다면 정의에 의해 2의 곱에대한 inverse가 존재해야합니다. 2*3 = 0의 양변에 2의 inverse를 곱하면 3 = 0을 얻고 이는 모순이 됩니다. 따라서 원소 6개인 field는 존재하지 않습니다. 보통 field 단원 초반부에 배우는 사실로서, 유한체의 원소의 갯수는 항상 소수의 power 꼴입니다. (https://math.stackexchange.com/questions/285278/quick-way-to-show-a-finite-field-always-has-prime-power-order/285287) 참고

 

여기서 GF(4) 를 예로들면

 

2*2는 (1+1)(1+1) = 1*1+1*1+1*1+1*1 해서 1이 4번 나와서 곱셈구조와 상관없이 0이 되는데 2*2=0에 2의 역원을 곱하면 2=0이 되지않나요?

소수의 거듭제곱 꼴은 어떻게 가능한건가요

XOR 구조에서는 가능하다라는건 알겠는데 왜되는지 이해가 안되네요

왜냐하면, 원소의 갯수가 4개인 abelian group은 Z_4 말고 K_4도 있기 때문입니다.
이 군에서는 어떤 두 수를 반복해서 더해도 1+1 = 0 이됩니다
대수학을 하실때는 '숫자 1' 과 '곱셈에 대한 항등원 1'을 잘 구분하셔야 합니다.
자연수 덧셈에서는 1+1 = 2 이지만, group 구조에 따라서는 (간단한 예로 Z_2) 1+1 = 0 이 가능합니다.

즉 적으신 '2'라는게 Z_4에서는 2지만,
K_4에서는 0이므로, 2의 역원을 곱하면.. 이라는 말은 \
Z_4위에 field구조를 줄 수 없음을 얘기하지만
K_4에대해서는 0의 역원을 얘기하는것과 같습니다.

원소의 갯수가 4개인 field가 존재한다면, 그 덧셈군 구조는 Z_4가 될 수 없습니다. (적으신 논리에 의해)
따라서 이 군의 구조를 K_4라고 가정하겠습니다. 이 경우 field조건을 만족하도록 곱셈구조를 주는것이
가능합니다.
구체적으로 주는 과정은
https://math.stackexchange.com/questions/42143/can-you-construct-a-field-with-4-elements
를 참고하시면 되겠습니다.

으아악 빌어먹을 암호학

K가 xor 연산하는 그룹인가요?

xor 연산하는 그룹이 뭔지를 몰라서... 간단히 적자면
0,1,x,x+1 로 원소들을 쓰고, 덧셈할때 (자연수 덧셈에서) 2가 나오면 0이 됩니다.
예를들어 x + (x+1) = 2x+1 = 0+1 = 1이 되는 식입니다
즉 계수가 Z_2인 1차 이하의 식들의 덧셈군입니다.

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)들 더하는걸로 (mod 2) 생각하시면 좀 더 편하겠네요

2^2 에서 0 1 2 3 을 0 1 t t+1로 치환하는데 원리가 뭔가요?
3^2 에서는 0 1 2 3 4 5 6 7 8 을 0 1 2 이후로 어떻게 치환하는지 잘모르겠습니다

그 원소의 개수가 p^n 인 갈로아필드에서 기약다항식으로 나누는 이유가 뭔가요..

원소 4개로 abelian group을 만드는 방법은 2가지가 있습니다. 0,1,2,3 그리고 0,1,t,t+1 = (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)로요. 여기서 앞은 Z4 뒤를 K4라고 합니다 앞의 경우는 어떤 곱셈 구조를 주더라도 field를 만들 수 없는 그룹이고 (쓰신 논리에 의해) 뒤의 경우는 field를 만들 수 있습니다.
3^2에서는 덧셈구조는 (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)의 덧셈으로 생각하시면 됩니다 (mod Z 3)

기약다항식으로 나누는건...좀 많이 긴 설명이 필요해져서 1년정도 학부 대수학 책을 꾸준히 보셔야 할 것 같네요